ЗАДАНИЕ №13

на контрольную работу по дисциплине «Мат. методы и модели»

Выполнить:

а) описать выбранный численный метод и составить блок-схему алгоритма;

б) дать объяснения блоков алгоритма;

в) записать алгоритм языком BASIC.

 

Задача 3

Вероятность безотказной работы узлов подвижной единицы во время приработки в зависимости от назначения, качества, режимов эксплуатации и т.д. описывается дифференциальным уравнением:

 

где λ – интенсивность отказов  в период нормальной эксплуатации:

      λ1, n – параметры интенсивности отказов.

Решить уравнение относительно Р методом Рунге-Кутта на отрезке [a, b], с шагом h,  P(a) = P0.

 

а) Пусть требуется найти численное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

Идея метода Рунге-Кутта состоит в представлении разности

Δу(х) = у(х + h) – y(x)                     (1)

в ыиде суммы поправок kj с коэффициентами pj: Δy = p1k1 + p2k2 +…+  pnkn, где k1 = hfx,y),  k2 = hf(x + α2h,y + β21k1),…, kr = hf(x + αrh,y + βr1k1 + βr2k2 + … + βrr-1kr-1).

Коэффициенты рj, αj, βji находят сравнением разложения Δу и kj по степеням h. В случае r = 4 получаем

k1 = hf(x,y), k2 = hf(x+h/2,y + k1/2), k3 = hf(x + h/2, y + k2/2) ,k4 = hf(x+h,y + k3), (2)

Δy = (1/6)(k1 + 2k2  + 2k3  + k4)                                                                                 (3)

При х = х0 с помощью формул (1-3) находим

yi+1 = yi +Δyi             (I = 0, 1, 2, …)

где 

 

Метод Рунге Кутта один из наиболее употребительных методов повышенной точности.

 

Блок схема программы для решения дифференциального уравнения для нахождения вероятности безотказной работы узлов подвижного механизма методом Рунге-Кутта приведена на рис. 3.

 

б) После введения значений отрезка a,b, начального значения функции Р0, интенсивности отказов L и параметров интенсивности отказов L1, n, присваиваем аргументу x значения начала отрезка - а, функции Р – значение в узле а: Р0. В блоке 4 вычисляем поправки k1 – k4. В блоке 5 вычисляем значение функции Р. Переходим к следующему узлу, прибавляя к x величину шага h. Блок 7 описывает выполнение вывода значений аргумента х и функции Р. В блоке 7 проверяется условие достижения конца отрезка b. Если х = b, то заканчиваем вычисления, в противном случае продолжаем вычисления для следующего узла х.

 

 

 

в) программа на языке BASIC

 

10   PRINT  решение дифференциального уравнения для нахождения вероятности безотказной работы узлов подвижного механизма методом РУНГЕ-КУТТА

20   INPUT  ‘ a, P0, b, h, L, L1, n, ’ , a, P0, b, h, L, L1, n,

30 x = a : Z = P0

40 T1 = h*(-(L+L1*x^n)): x = x + h/2: Y = Z + T1/2

41 T2 =  h*(-(L+L1*x^n)): Y = Z + T2/2

42 T3 = h*(-(L+L1*x^n)): x = x + h/2: Y = Z + T3/2

43 T4 = h*(-(L+L1*x^n)):

44 DY = 1/6 * (T1 +2*( T2 + T3 ) + T4)

50  P = Z +DY: Z = P

60   PRINT “ x = “, x; “ P = “ , P

70   IF x <=b THEN GOTO 40

80  END

 

 

К списку задач

Главная