ТЕПЛОМАССООБМЕН

Контрольная работа №1

Контрольные вопросы

 

 

18.     Напишите   дифференциальное   уравнение   теплопроводности   для   одномерного   нестационарного температурного   поля.    Поясните,    как   можно   разделить   переменные   при   решении   этого   уравнения.

 

Ответ:

Уравнение теплопроводности на отрезке

постановка задачи.   Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке:

щ=а2ихх,    xä(0,l),    tä(0,∞),                              (1)

u(х,0) = f(х),         xä(0,l),                                    (2)

u(0, t) =u(l,t)= 0,    tä(0,∞).                                 (3)

план решения.

1. Находим вспомогательные решения уравнения (1) в виде

v(x,t) = X(x)T(t),

причем v(0, t) = v(l,t) = 0, т.е. Х(0) = X(l) = 0. Для этого подставляем функцию v(x,t) = X(x)T(t) в уравнение (1) и разделяем переменные. Получаем

Поэтому функции Х(х) и T(t) являются решениями связанных задач:

а)           Х"(х) -λХ(х) =0,    Х(0) = Х(l) = 0;

б)           Т' - a2 λT = 0.

3. Решаем задачу (а).

Уравнение X" — λX = 0 имеет общее решение

 

 Из граничных условий Х(0) = Х(1) = 0 следует, что

4. Решаем задачу (б). При    имеем

Общее решение этого уравнения есть

5.        Итак, вспомогательные решения уравнения (5) имеют вид

где — постоянные, которые предстоит найти.

6. Решение задачи (1)-(3) ищем в виде

    (4)

Эта функция является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям (3) при любых Ап, при которых ряд (4) сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно.

7. Находим коэффициенты Аптакие, что и(х, t) удовлетворяет начальному условию (2).

Полагая в (4) t = 0, получаем

Следовательно,

 

Подставляя эти коэффициенты в формулу (4), получаем искомое решение и(х, t) и записываем ответ.

Замечание. При каждом фиксированном t ряд (4) является разложением u(x,t) по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (0,l):

Задача (а) состоит в отыскании этих собственных функций и соответствующих им собственных значений λ. Коэффициенты при t в (4) являются собственными значениями λ

 

К списку задач

Главная