ТЕПЛОМАССООБМЕН

Контрольная работа №1

Контрольные вопросы

 

 

14. Установите   характер   распределения   температуры в   плоской   однослойной   стенке   при стационарном   режиме    с   учетом    зависимости   коэффициента  теплопроводности  материала    стенки   от   температуры λ=f(t), т.е.  покажите,   что   график    t=f(x) вогнутый , если функция λ=f(t) убывающая (); график    t=f(x)выпуклый  , если функция λ=f(t) возрастающая (); а при λ =const зависимость t=f(x)линейная.

 

Ответ:

Решим задачу

Найти   распределение   температуры  в стене, если ее коэффициент теплопроводности равен:

λ = λ0 (1+βλt). Кроме того, задан   поток   тепла   q через стену,  а также температуры ее поверхностей.

Решение.

Распределение температуры t =f(x) в стене, материал которой имеет переменный коэффициент теплопроводности λ = λ0 (1+βλt)., найдем с помощью закона Фурье:

.

Разделив переменные

и проинтегрировав по х в   пределах   от 0 до х и по t в   пределах от tc1    до t, получим:

.

После преобразования найдем:

По   заданию λ = λ0 (1+βλt).   Продифференцируем    последнее уравнение

Следовательно,

 

Подставив найденное   выражение   для   dt в уравнение (1) и заменив соответственно пределы интегрирования, получим:

Выполнив интегрирование, найдем:

где

Из последнего выражения следует:

В свою очередь, λ = λ0 (1+βλt). Сравнивая   два   последних   выражения для λ, получим

Из этого соотношения находим искомое   распределение   температуры в стене

 

Исследуем поведение функции t=f(x), для чего найдем первую и вторую производную от t по x:

Первая производная

Вторая производная

Если функция λ=f(t)  (λ = λ0 (1+βλt)) убывающая (), то коэффициент β – отрицательный.

При β < 0 и т.к. q>0, x>0, λ0>0,λ1>0, то   и, следовательно, график    t=f(x) вогнутый.

Если функция λ=f(t)  (λ = λ0 (1+βλt)) возрастающая (), то коэффициент β – положительный.

При β > 0 и т.к. q>0, x>0, λ0>0,λ1>0, то   и, следовательно, график    t=f(x) выпуклый.

 

К списку задач

Главная