Механика жидкостей и газов

 

Задача №4.18

 

Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном трансформаторным маслом, плотность которого ρ = 0,9·103 кг/м3 и динамическая вязкость η = 0,8 Па·с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса Re≤ 0,5 (если при вычислении Re в качестве величины D взять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра D шарика.

 

 

Дано:

 

ρ = 0,9·103 кг/м3

η = 0,8 Па·с

Re ≤ 0,5

ρст = 7,7·103 кг/м3

D - ?


Решение:

 

Согласно закону Ньютона, сила внутреннего трения между слоями определяется формулой:

где η – коэффициент вязкости;

 - градиент скорости;

S – площадь поверхности, к которой приложена сила.

На движущийся шарик действуют три силы:

  1. Сила тяжести

 

где      r – радиус шарика;

            ρ2 – плотность шарика;

g – ускорение силы тяжести ().

  1. Сила Архимеда, направленная против движения шарика:

здесь ρ1 – плотность касторового масла.

Сила внутреннего трения (сила сопротивления движения шарика).

  1. Эта сила также направлена против движения шарика. Стокс на основании теоретических исследований установил, что если шарик движется в жидкости, не вызывая при своем движении никаких завихрений, то сила сопротивления движения шарика определяется формулой

 

где  - скорость движения шарика, r – радиус шарика, η – коэффициент вязкости жидкости.

Следует учесть, что при движении шарика имеет место не трение шарика о жидкость, а трение отдельных слоев жидкости друг о друга, так как шарик обволакивается тонким слоем жидкости, и этот слой жидкости движется вместе с шариком.

Сила трения с увеличением скорости движения шарика возрастает, следовательно, при движении шарика скорость её может достигнуть такой величины, при которой все три силы, действующие на шарика ю, будут уравновешены, то есть равнодействующая их будет равна нулю. Такое движение шарика будет равномерным, и шарика будет двигаться по инерции с постоянной скоростью. Уравнение динамики для такого движения будет:

или

Откуда скорость шарика

 

 

Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным числом Рейнольдса

где D — величина, характеризующая линейные размеры тела, обте­каемого жидкостью (газом), v — скорость течения, ρ — плотность, η — динамическая вязкость. Критическое значение числа Рейнольдса, опре­деляющее переход от ламинарного движения к турбулентному, различно для тел разной формы.

Тогда предельное значение диа­метра D шарика, при котором закон Стокса имеет место, т.е. движение слоев масла будет ламинарным

 

 

Ответ:

 

 

 

К списку задач

Главная