Динамика

 

Задача №2.161

 

Сила взаимодействия между кольцом и материальной точкой, находящейся на оси кольца, имеет максимальное значение Fmax, когда точка находится на расстоянии Lmax от центра кольца. Во сколько раз сила взаимодействия F между кольцом и материальной точкой, находящейся на расстоянии L = 0,5Lmax от центра кольца, меньше максимальной силы Fmax?

 

 

Дано:

 

Lmax

Fmax

L = 0,5Lmax

Fmax/ F - ?

 

Решение:

 


Разобьём кольцо  на элементарные участки  d

 

 

Сила гравитационного взаимодействия между элементом кольца d  и массой m, помещенной в точке А, будет равна

Масса элементарного участка кольца d.

Тогда

    Силу гравитационного притяжения , создаваемого участком d на расстоянии L от кольца, можно разложить на две составляющие

             (1)

При этом нормальные составляющие от участков кольца симметричных относительно середины кольца будут взаимно компенсировать друг друга, и тогда

             (2)

Т.е. результирующая напряженность будет определяться тангенциальными составляющими.

             (3)

Устремляя d к нулю и суммируя по i, переходим к определенному интегралу

             (4)

 

Из рисунка видно, что

             (7)

следовательно,

             (8)

     (9)       

Учитывая, что

         (10)

получим

 

Найдем значение L, при котором F = Fmax:

Первая производная от силы по L

 равна нулю при

Максимальное значение силы

Значение силы при L = 0,5Lmax

Отношение

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

К списку задач

Главная