Динамика

 

Задача №2.160

 

Имеется кольцо радиусом R = 20 см из медной проволоки. Найти силу F, с которой это кольцо притягивает материальную точку массой m = 2 г, находящуюся на оси кольца на расстоянии L = 0, 5, 10, 15, 20 и 50 см от его центра. Составить таблицу значений F и представить графически зависимость F = f (L). На каком расстоянии Lmax от центра кольца сила имеет максимальное значение Fmax, и каково это значение? Радиус проволоки r = 1 мм.

 

 

Дано:

 

R = 20 см = 0,2 м

ρCu = 8,6·103 кг/м3

m = 2 г = 2·10-3 кг

L = 0, 5, 10, 15, 20 и 50 см =

= 0, 5·10-2, 10·10-2, 15·10-2 , 20·10-2, 50·10-2 м

r = 1 мм = 1·10-3 м

F - ? F = f (L) - ? Lmax - ? Fmax - ?

 

Решение:

 


Разобьём кольцо  на элементарные участки  d

 

 

Сила гравитационного взаимодействия между элементом кольца d  и массой m, помещенной в точке А, будет равна

Масса элементарного участка кольца d.

Тогда

    Силу гравитационного притяжения , создаваемого участком d на расстоянии L от кольца, можно разложить на две составляющие

             (1)

При этом нормальные составляющие от участков кольца симметричных относительно середины кольца будут взаимно компенсировать друг друга, и тогда

             (2)

Т.е. результирующая напряженность будет определяться тангенциальными составляющими.

             (3)

Устремляя d к нулю и суммируя по i, переходим к определенному интегралу

             (4)

 

Из рисунка видно, что

             (7)

следовательно,

             (8)

     (9)       

Учитывая, что

         (10)

получим

 

 

Найдем значение L, при котором F = Fmax:

Первая производная от силы по L

 равна нулю при

Максимальное значение силы

 

 

 

 

К списку задач

Главная