Пружні хвилі

§1 Хвилі в пружному середовищі

 

Якщо коливне тіло (камертон, струна, мембрана і т.д.) перебуває в пружному середовищі, то воно приводить у коливальний рух дотичні з ним частки середовища, внаслідок чого в прилягаючих до цього тіла елементах середовища виникають періодичні

деформації (наприклад, стиску й розтягання). При цих деформаціях у середовищі з'являються пружні сили, що прагнуть повернути елементи середовища до первісних станів рівноваги; завдяки взаємодії сусідніх елементів середовища, пружні деформації будуть передаватися від одних ділянок середовища до інших, більш віддалених від коливного тіла.

 Таким чином, періодичні деформації, викликані в якому-небудь місці пружного середовища, будуть поширюватися в середовищі з деякою швидкістю, що  залежить від її фізичних властивостей. При цьому частки середовища роблять коливальний рух близько положень рівноваги. Від одних ділянок середовища до інших передається тільки стан деформації.

        


Процес поширення коливального руху в середовищі називається хвильовим процесом або просто  хвилею. Залежно від характеру виникаючих при цьому пружних деформацій розрізняють поздовжні й поперечні хвилі. У поздовжніх хвилях частки середовища коливаються уздовж напрямки поширень коливань. У поперечних хвилях частки середовища коливаються перпендикулярно напрямку поширення хвилі.


Рідкі й газоподібні середовища не мають пружності зсуву, тому в них збуджуються тільки поздовжні хвилі, що поширюються у вигляді стисків, що чергуються, і розряджень. Хвилі, порушувані на поверхні води, є поперечними, вони зобов'язані своїм існуванням земному притяганню.

У твердих тілах можуть бути викликані й поздовжні й поперечні хвилі.

 

Припустимо, що точкове джерело хвилі почало збуджувати в середовищі коливання в момент часу  t = 0; по витіканню часу t це коливання пошириться по різних напрямках на відстань r =vit, де vi - швидкість хвилі в даному напрямку. Поверхня, до якої доходить коливання в деякий момент часу, називається фронтом хвилі. Форма фронту хвилі визначається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. В однорідних середовищах швидкість поширення хвиля скрізь однакова. Середовище називається ізотропним, якщо ця швидкість однакова в усіх напрямках. Фронт хвиля від точкового джерела коливань в однорідному й ізотропному середовищі має вигляд сфери; такі хвилі називаються сферичними.

 У неоднорідній і не ізотропному (анізотропному) середовищу, а також від неточкових джерел коливань фронт хвилі має складну форму. Якщо  фронт хвилі являє собою площину й ця форма зберігається в міру поширення коливань у середовищі, то хвилю називають плоскою.

Поверхні хвилі, точки яких коливаються в однакових фазах, називаються хвильовими або фазовими поверхнями.

Графік, що показує розподіл у середовищі коливної величини в даний момент часу,  називають  формою хвилі.


 

§2 Рівняння плоскої хвилі

Рівняння хвилі дозволяє знайти зсув від положення   рівноваги коливної точки з координатами (х, в, z) у момент часів t.

Нехай коливання точок, що лежать у площині х = 0 відбуваються по закону косинуса

Знайдемо вид коливання точок у площині, відповідної до довільного значення х. Для того, щоб пройти шлях від х = 0 до цієї площини хвилі потрібен час v– швидкість, поширення хвилі, отже, коливання часток, що  лежать у площині х, будуть відставати за часом на  τ від коливань часток у площині х = 0, т.т, будуть мати вигляд

- рівняння падаючої хвилі (хвилі, що біжить).

(рівняння хвилі, що поширювався в напрямку осі X).

S- зсув точки від положення рівноваги в площині, що перебуває на відстані х від джерела коливань;

А-А-  амплітуда хвилі;

φ0 -  початкова фаза.'

 Для однієї хвилі можна вибрати х и t так, щоб φ0 =0.

Для декількох хвиль це не вдається.

Якщо хвиля поширюється убік убування координати х, то коливання в площині х почнуться раніше на ,ніж в площині х = 0. Тоді рівняння відбитої хвилі запишеться у вигляді

- рівняння відбитої хвилі.

 

§3. Поняття про фазову швидкість.

Зв'язок між фазової й груповий швидкостями

Зафіксуємо яке-небудь значення фази, що стоїть в рівнянні хвилі, що біжить

                                                                             (1)

З нього випливає зв'язок між часом t і тем місцем х, у якому фаза має зафіксоване значення . Значення, що випливає з нього, дає швидкість, з якої переміщається дане значення фази. Продиференціював (1), одержимо

 

k - хвильове число, λ - довжина хвилі.

 Таким чином,  швидкість v у рівнянні хвилі, що поширюється, є фазовою швидкістю, тобто вона показує, з якою швидкістю поширюється фаза хвилі (швидкість переміщення фази).

У всіх реальних хвильових процесах доводитися мати справа з більш складними хвилями, що мають несинусоїдальний характер. Таку складну хвилю можна представити як суму косинусоїдальних або синусоїдальних хвиль, або як групу таких хвиль. У реальних умовах спостерігається переміщення груп хвиль, кожна з яких відрізняється від іншої по частоті. У кожний момент часу можна знайти точку, у якій спостерігається максимум коливань, що виникають у результаті накладення цих хвиль. У цій точці фаза будь-якої групи хвиль буде однаковою. Ця точка називається центром групи хвиль.  Положення центру групи хвиль згодом змінюється. Цій точці відповідає максимум енергії коливної групи хвиль. Енергія коливної групи хвиль переноситься зі швидкістю, рівної швидкості переміщення центру групи хвиль. Цю швидкість називають груповою швидкістю. Вона позначається u.

 2. Зв'язок між груповий і фазової швидкостями.

Щоб знайти цей зв'язок скористаємося тим, що в центрі групи хвиль фази всіх хвиль однакові. Групова швидкість рівна

Залежно від знака  групова швидкість u може бути менше або більше фазової швидкості v. У відсутності дисперсії  й групова швидкість збігається з фазової.

До списку лекцій

Головна