§6 Загасаючі коливання

Декремент загасання. Логарифмічний декремент загасання.

Добротність

 

Вільні коливання технічних систем у реальних умовах протікають, коли на них діють сили опору. Дія цих сил приводить до зменшення амплітуди коливної величини.

Коливання, амплітуда яких через втрати енергії реальної коливальної системи зменшується із часом, називаються загасаючими.

Найбільше часто зустрічається випадки, коли сила опору пропорційна швидкості руху

 

де r - коефіцієнт опору середовища. Знак мінус показує, що FC спрямована убік протилежний швидкості.

Запишемо рівняння коливань у точці, що коливається в середовищі, коефіцієнт опорів якої r. По другому закону Ньютона

де β - коефіцієнт загасання. Цей коефіцієнт характеризує швидкість загасання коливань, При наявності сил опору енергія коливної системи буде поступово убувати, коливання будуть загасати.

-диференціальне рівняння загасаючих коливань.

 

- рівняння загасаючих коливань.

ω –частота загасаючих коливань:

Період загасаючих коливань:

Загасаючі коливання при строгому розгляді не є періодичними. Тому про період загасаючих коливань можна говорити, коли β мало.

Якщо загасання виражені слабко (β→0), то . Загасаючі коливання

можна розглядати як гармонійні коливання, амплітуда яких міняється за експонентним законом

У рівнянні (1) А0 і φ0 - довільні константи, що залежать від вибору моменту часу, починаючи з якого ми розглядаємо коливання

Розглянемо коливання протягом, деякого часу  τ, за яке амплітуда поменшається в е раз

τ - час релаксації.

Коефіцієнт затихання β обернено пропорційний часу, протягом якого амплітуда зменшується в е раз. Однак коефіцієнта загасання недостатньо для характеристики загасань коливань. Тому необхідно ввести таку характеристику для загасання коливань, у яку входить час одного коливань. Такою характеристикою є декремент (на української: зменшення) загасання D, який дорівнює відношенню амплітуд, що відстоять за часом на період:

       

Логарифмічний декремент загасання дорівнює логарифму D:

 

Логарифмічний декремент загасання обернено пропорційний числу коливань, у результаті яких амплітуда коливань поменшалася в е раз. Логарифмічний декремент загасання - постійна для даної системи величина.

Ще однієї характеристикою коливальною система є добротність Q.

Добротность

Добротність пропорційна числу коливань, чинених системою, за час релаксації τ.

Добротність Q коливальної системи є мірою відносної дисипації (розсіювання) енергії.

Добротність Q коливальної системи називається число, що показує в скільки раз сила пружності більше сили опору.

Чим більше добротність, тем повільніше відбувається загасання, тем загасаючі коливання ближче до вільних гармонійних.

§7 Змушені коливання.

Резонанс

У цілому ряді випадків виникає необхідність створення систем, що роблять незатухаючі коливання. Одержати незатухаючі коливання в системі можна, якщо компенсувати втрати енергії,  впливаючи на систему періодично мінливої силою.

Нехай

Запишемо вираження для рівняння руху матеріальної точки, що робить гармонійний коливальний рух під дією сили, що змушує.       

По другому закону Ньютона:

 

                                                            (1)

- диференціальне рівняння змушених коливань.

Це диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним.

Його розв'язок дорівнює сумі загального розв'язку однорідного рівняння й часткового розв'язку неоднорідного рівняння:

Знайдемо частковий розв'язок неоднорідного рівняння. Для цього перепишемо рівняння (1) у наступному виді:

                                                                            (2)

Частковий розв'язок цього рівняння будемо шукати у вигляді:

Тоді

Підставимо в (2):

т. як виконується для будь-якого t, те повинне виконуватися рівність  γ = ω, отже,

Це комплексне число зручне представити у вигляді

де А визначається по формулі (3 нижче), а φ - по формулі (4), отже, розв'язок (2), у комплексній формі має вигляд

Його дійсна частина, що був розв'язком рівняння (1) рівна:

где

                                                                    (3)

                                                                               (4)

             (4)

Доданок Хо.о. відіграє істотну роль тільки в початковій стадії при встановленні коливань доти, поки амплітуда змушених коливань не досягне значення обумовленого рівністю (3). У режимі, що встановився, змушені коливання відбуваються із частотою ω і є гармонійними. Амплітуда (3) і фаза (4) змушених коливань залежать від частоти сили, що змушує.  При певній частоті сили, що змушує, амплітуда може досягти дуже більших значень. Різке зростання амплітуди змушених коливань при наближенні частоти сили, що змушує, до власної частоти механічної системи, називається резонансом.

Частота ω сили, що змушує, при якій спостерігається резонанс, називається резонансною. Для того щоб знайти значення ωрез, необхідно знайти умову максимуму амплітуди. Для цього потрібно визначити умову мінімуму знаменника в (3) ( тобто досліджувати (3) на екстремум).

Залежність амплітуди коливної величини від частоти сили, що змушує, називається резонансною кривою. Резонансна крива буде тем вище, чим менше коефіцієнт загасання β і зі зменшенням β, максимум резонансних кривих зміщається вправо. Якщо β = 0, то

ωрез = ω0.

При ω→0 вусі криві приходять до значення           - статичне відхилення.

Параметричний резонанс виникає в тому випадку, коли періодична зміна одного з параметрів система приводить до різкого збільшення амплітуди коливної системи. Наприклад, кабіни, що роблять "сонечко" за рахунок зміни положення центру тяжіння система.(Те ж в "човниках".) Див. §61 .т. 1 Савельєв І.В.

 Автоколиваннями називаються такі коливання, енергія яких періодично поповнюється в результаті впливу самої системи за рахунок джерела енергії, що перебуває в цій же системі. Див. §59 т.1 Савельєв І.В

До списку лекцій

Головна