§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

 

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

 

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r. По второму закону Ньютона

где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

 

- уравнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А0 и φ0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени  τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ - время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затуханияD, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:       

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:

 

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.

Добротность

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии,  воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

 

                                                            (1)

- дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

                                                                            (2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда

Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство  γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

где

                                                                    (3)

                                                                               (4)

Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы.  При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Частота ω вынуждающей силы,  при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

 

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

ωрез = ω0.

При ω→0 все кривые приходят к значению           - статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

 Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. §59 т.1 Савельев И.В.

К списку лекций

Главная