§4 Енергія гармонійних коливань

 

 По визначенню кінетична енергія тіла масою m, що рухається зі швидкістю

 рівна

 

Потенційна енергія рівна

Повна енергія рівна

Квазіпружня сила є консервативної, тому повна енергія гармонійного коливання залишається постійної. У процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії в потенційну й назад. Коливання WК і WП відбуваються із частотою 2ω0, тобто у два рази перевищуючої частоту гармонійних коливань.

 

§5 Додавання гармонійних коливань

Зображення коливань у вигляді векторної діаграми

Нехай коливання описуються рівнянням

                                                             (1)

Відкладемо із точки О вектор довжиною А під кутом, що становив, φ0 з віссю Ох. Якщо цей вектор почати обертати з кутовою швидкістю ω0, то проекція кінця вектора буде змінюватися згодом за законом косинуса (1), таким чином, гармонійне коливання може бути описане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання А, а напрямок вектора утворює з віссю х кут, що дорівнює початкової фазі φ0.

2. Додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку й однакової частоти.

 

 Результуючий вектор рівний

визначається за правилом паралелограма, його проекція на вісь X рівна

X=X1 + X2.

Довжина результуючого вектора або амплітуда результуючого коливання визначається по теоремі косинусів і рівна

Початкова фаза результуючого коливання визначається з умови

При додаванні двох гармонійних коливань із однаковою частотою й однакового напрямку результуючий рух є також гармонійним коливанням з тим же періодом і з амплітудою А, що лежить у межах

Коливання, у яких φ10 = φ20, А= А1 + А2називаються синфазними.

Коливання, у яких φ10 - φ20 = π, А=| А2 – А1|називаються протифазними.

У випадку, якщо А1 = А2, то при φ10 = φ20  А = 2А1, при φ10 - φ20 = π, А=| А2 – А1| = 0.

 

§3 Биття

Биття - додавання коливань із близькими частотами ω1 ≈ ω2.

При додаванні гармонійних коливань, що мало відрізняються по частоті, результуючий рух є гармонійним коливанням  з пульсуючою амплітудою. Таке коливання називається биттями.

Для простоти приймемо А= А1 = А2, φ10 = φ20 = 0.

Тоді


,   где 

                                  (2)

Отримане вираження є добуток двох коливань.

Множник  має частоту середню для двох коливань, що складаються, т.т. близьку до їхніх частот ω1 і ω2. Другий множник  має в силу умови близькості ω1 і ω2 малу частоту, тобто більший період. Це дозволяє розглядати результуючий рух як майже гармонійне коливання із середньою кутовою частотою й повільно мінливою  амплітудою .

1,2 - графік повільно мінливої амплітуди.

3 - графік результуючого коливання.

Коли  φ1 ≈ φ2, Арез ≈ 2А. Через проміжок,     одне з коливань відстає від іншого по фазі на π і Арез → 0 .Таке поступове зростання й убування амплітуд результуючого коливання називається биттям.

Якщо ω1 і ω2 порівнянні, тобто можна знайти два такі числа n1 і n2, що

 то через проміжок часу аргументи обох співмножників в (2) зміняться на ціле ( хоча й різне ) число раз 2π, їхній добуток прийме теж значення, що й на початку проміжку τ. Величина τ тоді є періодом результуючого коливання.

Якщо частоти не порівнянні, то результуюче коливання буде неперіодичним.

4. Додавання взаємне перпендикулярних коливань.

Розглянемо результат додавання двох гармонійних коливань однакової частоти ω1 = ω2 = ω, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках уздовж осей х и y.

                                                                                            (1)

а) Нехай φ10 = φ20.


Тоді, т.е. - траєкторія - це діагональ прямокутника зі сторонами 2А (по осі х) і 2В (по осі у)


б) Нехай φ10 = φ20 +π.

Тоді

 

в) Нехай φ10 = φ20 +π/2


 - еліпс.

При А = В – окружність.

г) φ10 = φ20 - π/2 –еліпс, але змінюється напрямок обходу.

д) Довільні φ10 і φ20 – також еліпс із рівнянням

У загальному випадку

  1. φ20 - φ10 = 2kπ;

 

2. Δφ = (2k + 1)π;

 

 3. Δφ =  ±π/2k;

е) Фігури Лиссажу.

У там випадку, коли частоти взаємно перпендикулярних коливань, у яких одночасно бере участь розглянута крапка, ставляться як цілі числа, траєкторія руху являє собою складні криві, що одержали назву фігур Лиссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз, що складаються коливань.

Відношення частот, що складаються коливань дорівнює відношенню  числа перетинань фігур Лиссажу із прямими паралельними осям координат. По виду фігур Лиссажу можна визначити невідому частоту по відомій, або  визначити відношення частот  ω1 і ω2.

 

 

До списку лекцій

Головна