§4 Энергия гармонических колебаний

 

По определению кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  равна

Потенциальная энергия равна

Полная энергия равна

 Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания остается постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Колебания WК и WП происходят с частотой 2ω0, т.е. в два раза превышающей частоту гармонических колебаний.

 

§5 Сложение гармонических колебаний

Изображение колебаний в виде векторной диаграммы

Пусть колебания описываются уравнением

                                                             (1)

тложим из точки О вектор длиной А, составлявший угол φ0 с осью Ох. Если этот вектор начать вращать с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет изменяться со временем по закону косинуса (1), т.о., гармоническое колебание может быть описано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания А, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе φ0.

2. Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты.

 

 Результирующий вектор  равен

Находится по правилу параллелограмма, его проекция на ось X равна

X=X1 + X2.

Длина результирующего вектора или амплитуда результирующего колебания находится по теореме косинусов и равна

Начальная фаза результирующего колебания определяется из условия

При сложении двух гармонически колебаний с одинаковой частотой и одинакового направления, результирующее движение есть также гармоническое колебание с тем же периодом и с амплитудой А, лежащей в пределах

Колебания, у которых φ10 = φ20, А= А1 + А2называются синфазными.

Колебания, у которых φ10 - φ20 = π, А=| А2 – А1|называются противофазными.

В случае, если А1 = А2, то при φ10 = φ20  А = 2А1, при φ10 - φ20 = π, А=| А2 – А1| = 0.

 

§3 Биения

Биения - сложение колебаний с близкими частотами ω1 ≈ ω2.

При сложении гармонических колебаний мало отличаюшихся по частоте результирующее движение являемся гармоническим колебанием  с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Для простоты примем А= А1 = А2, φ10 = φ20 = 0.

Тогда


,   где 

                                  (2)

Полученное выражение есть произведение двух колебаний.

Множитель  имеет частоту среднюю для двух слагаемых колебаний . т.е. близкую к их частотам ω1 и ω2. Второй множитель  обладает в силу условия близости ω1 и ω2 малой частотой, т.е. большим периодом. Это позволяет рассматривать результирующее движение как почти гармоническое колебание со средней угловой частотой и медленно меняющейся  амплитудой .

1,2 - график медленно меняющейся амплитуды.

3 - график результирующего колебания.

Когда  φ1 ≈ φ2, Арез ≈ 2А. Спустя промежуток ,     одно из колебаний отстает от другого по фазе на π и Арез → 0 . Такое постепенное возрастание и убывание амплитуд результирующего колебания называется биением.

Если ω1 и ω2 соизмеримы, т.е. можно найти два таких числа n1 и n2, что  то через промежуток времени аргументы обоих сомножителей в (2) изменятся на целое ( хотя и различное ) число раз 2π, их произведение примет тоже значение, что и в начале промежутка τ. Величина τ тогда является периодом результирующего колебания.

Если частоты не соизмеримы, то результирующее колебание будет непериодическим.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω1 = ω2 = ω , происходящих во взаимно перпендикуляр­ных направлениях вдоль осей х и у.

                                                                                            (1)

а) Пусть φ10 = φ20.


Тогда , т.е. - траектория - это диагональ прямоугольника со сторонами 2А (по оси х) и 2В (по оси у)


б) Пусть φ10 = φ20 +π.

Тогда

 

в) Пусть φ10 = φ20 +π/2


 - эллипс.

При А = В – окружность.

г) φ10 = φ20 - π/2 – эллипс, но изменяется направление обхода.

д) Произвольные φ10 и φ20 – также эллипс с уравнением

В общем случае

  1. φ20 - φ10 = 2kπ;

  1. Δφ = (2k + 1)π;

 

 

  1. Δφ =  ±π/2k;

е) Фигуры Лиссажу.

В там случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний, в которых одновременно участвует рассматриваемая точка, относятся как целые числа, траектория движения представляет собой сложные кривые, получившие название фигур Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению  числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми параллельными осям координат. По виду фигур Лиссажу можно определить неизвестную частоту по известной, или  определить отношение частот  ω1 и ω2.

 

К списку лекций

Главная