§2 Пружинний маятник.

Пружні й квазіпружні сили.

Рівняння коливної пружини

Розглянемо тіло маси m, закріплене на пружині з коефіцієнтом жорсткості k (масою пружини зневажаємо).  Розтягнемо пружину на х. Тоді за законом Гука на тіло буде діяти сила пружності Fпр :

1) величина сили пропорційна величині відхилення системи від положення рівноваги

2) напрямок сила протилежний напрямку зсуву, тобто сила завжди  спрямована до положення рівноваги (при х > 0, Fпр < 0, при х < 0, Fпр > 0)

3) У положенні рівноваги х = 0 і Fпр = 0.

За законом Гука

Fпр = -.

Систему, що складається з матеріальної точки маси m і абсолютно пружної пружини з коефіцієнтом жорсткості k, у якій можливі вільні коливання, називають пружинним маятником.

Запишемо другий закон Ньютона для рис. б

 

 

т.т.

тоді

і

 

 

 

 Якщо сила не є по своїй природі пружної, але підкоряється закону F = -, то вона називається квазіпружною силою.

Одержимо рівняння пружинного маятника.  Урахуємо в записі другого закону Ньютона, що

тоді

 - диференціальне рівняння точки, що робить коливальний рух (диференціальне рівняння пружинного маятника).

 Розв'язок диференціального рівняння:

- рівняння коливної точки (рівняння коливної пружини).

-  власна частота коливань.

 

§3 Математичний і фізичний маятники.

Періоди коливань математичного й фізичного маятників

Математичний маятник - матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці, що робить коливання у вертикальній площині під дією сили тяжіння. Матеріальна точка - тіло, маса якого зосереджена в центрі мас і розмірами якого в умовах даного завдання, можна знехтувати.

Математичний маятник при коливаннях робить рух по дузі окружності радіуса. Його рух підкоряється законам обертального руху.

Основне рівняння обертального руху запишеться у вигляді

                                             (1)

М – момент сил, Iмомент інерції, ε – кутове прискорення.

Рівнодіюча сил  і рівна.

Із трикутника АВС

т.т.

таким чином, коливання математичного маятника відбуваються під дією квазіпружної сили - сили тяжіння.

Тоді (1) запишеться у вигляді

                                  (2)

Знак мінус ураховує, що вектори   йимають протилежні напрямки (кут повороту можна розглядати, як псевдовектор кутового зсуву , напрямок вектора  визначається за правилом правого гвинта, через знак мінус  спрямований у протилежну сторону).

 Скоротивши в (2) на mі одержимо

При малих кутах коливань  α = 5 ÷6° ,, одержимо

Після уведення позначення 

одержимо диференціальне рівняння коливань математичного маятника

Його розв'язок:

- рівняння математичного маятника.

 з якого видно, що кут α змінюється за законом косинуса.  α0 -  амплітуда, ω0 - циклічна частота, φ0 - початкова фаза.

 

- період коливань математичного маятника

Фізичний маятник - тверде тіло, що коливається під дією сили тяжіння навколо нерухливої горизонтальної осі, що не проходить через центр тяжіння тіла, називаною віссю хитання маятника.

Основне рівняння обертального руху для фізичного маятника запишеться у вигляді

При малих кутах коливань  ірівняння руху має вигляд

Тоді поклавши

одержимо

- диференціальне рівняння фізичного маятника.

- період коливань фізичного маятника

Дорівнявши Тфіз = Тмат:

отже, математичний маятник з довжиною

має такий же період коливань, як і даний фізичний маятник  - наведена довжина фізичного маятника -  це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом даного фізичного маятника.

До списку лекцій

Головна