|
|
§2 Пружинный маятник. Упругие и квазиупругие силы. Уравнение колеблющейся пружины Рассмотрим тело массы m, закрепленное на пружине с коэффициентом жесткости k (массой пружины пренебрегаем). Растянем пружину на х. Тогда по закону Гука на тело будет действовать сила упругости Fупр : 1) величина силы пропорциональна величине отклонения системы от положения равновесия
2) направление сила противоположно направлении смещения, т.е. сила всегда направлена к положению равновесия (при х > 0, Fупр < 0, при х < 0, Fупр > 0) 3) В положении равновесия х = 0 и Fупр = 0. По закону Гука Fупр = -kх. Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k, в которой возможны свободные колебания, называют пружинным маятником. Запишем второй закон Ньютона для рис. б
т.е.
тогда
и
Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = -kх, то она называется квазиупругой силой. Получим уравнение пружинного маятника. Учтем в записи второго закона Ньютона, что
тогда
- дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника). Решение дифференциального уравнения:
- уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины).
- собственная частота колебаний.
§3 Математический и физический маятники. Периоды колебаний математического и физического маятников Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка - тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь. Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса . Его движение подчиняется законам вращательного движения. Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде (1) М – момент сил, I – момент инерции, ε – угловое ускорение.
Равнодействующая сил и равна . Из треугольника АВС
т.е.
таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы - силы тяжести. Тогда (1) запишется в виде (2) Знак минус учитывает, что векторы и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения , направление вектора определяется по правилу правого винта, из-за знака минус направлен в противоположную сторону). Сократив в (2) на m и получим
При малых углах колебаний α = 5 ÷6° ,, получим
Ввода обозначения
получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника
Его решение:
- уравнение математического маятника. из которого видно, что угол α изменяется по закону косинуса. α0 - амплитуда, ω0 - циклическая частота, φ0 - начальная фаза.
- период колебаний математического маятника Физический маятник - твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника. Основное уравнение – вращательного движения для физического маятника запишется в виде
При малых углах колебаний и уравнение движения имеет вид
Тогда положив
получим
- дифференциальное уравнение физического маятника.
- период колебаний физического маятника Приравняв Тфиз = Тмат:
следовательно, математический маятник с длиной имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. - приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. |