§2 Пружинный маятник.

Упругие и квазиупругие силы.

Уравнение колеблющейся пружины

Рассмотрим тело массы m, закрепленное на пружине с коэффициентом жесткости k (массой пружины пренебрегаем).  Растянем пружину на х. Тогда по закону Гука на тело будет действовать сила упругости Fупр :

1) величина силы пропорциональна величине отклонения системы от положения равновесия

2) направление сила противоположно направлении смещения, т.е. сила всегда  направлена к положению равновесия (при х > 0, Fупр < 0, при х < 0, Fупр > 0)

3) В положении равновесия х = 0 и Fупр = 0.

По закону Гука

Fупр = -kх.

 

 Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k, в которой возможны свободные колебания, называют пружинным маятником.

Запишем второй закон Ньютона для рис. б

 

 

т.е.

тогда

и

 

 Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = -kх, то она называется квазиупругой силой.

Получим уравнение пружинного маятника.  Учтем в записи второго закона Ньютона, что

тогда

 - дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника).

 Решение дифференциального уравнения:

- уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины).

-  собственная частота колебаний.

 

§3 Математический и физический маятники.

Периоды колебаний математического и физического маятников

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка - тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь.

Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса . Его движение подчиняется законам вращательного движения.

Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде

                                             (1)

М – момент сил, I – момент инерции, ε – угловое ускорение.

Равнодействующая сил  и равна .

Из треугольника АВС

т.е.

таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы - силы тяжести.

Тогда (1) запишется в виде

                                  (2)

Знак минус учитывает, что векторы  и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения , направление вектора  определяется по правилу правого винта, из-за знака минус  направлен в противоположную сторону).

 Сократив в (2) на m и  получим

При малых углах колебаний  α = 5 ÷6° ,, получим

Ввода обозначения 

получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Его решение:

- уравнение математического маятника.

из которого видно, что угол α изменяется по закону косинуса.  α0 -  амплитуда, ω0 - циклическая частота, φ0 - начальная фаза.

 

- период колебаний математического маятника

Физический маятник - твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника.

Основное уравнение – вращательного движения для физического маятника запишется в виде

При малых углах колебаний  и уравнение движения имеет вид

Тогда положив

получим

- дифференциальное уравнение физического маятника.

- период колебаний физического маятника

Приравняв Тфиз = Тмат:

следовательно, математический маятник с длиной

имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник.  - приведенная длина физического маятника -  это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

К списку лекций

Главная