ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§1 Кинематика гармонического колебания

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.

В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов   и  в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.

Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A. Вращение происходит с постоянной угловой скоростью ω0. Тогда угол φ между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону

где φ0 - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на ось х в момент времени t = 0

а в произвольный момент времени

 (1)

Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х, и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).

Колебания, которые описываются законом косинуса

или синуса   

называется гармоническими.

Гармонические колебания являются периодическими, т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.

Если отрезок [ОД] находится з низшем положении по рисунку, т.е. точка Д совпадает с точкой Р, то его проекция на ось х равна нулю. Назовем такое положение отрезка [ОД] положением равновесия. Тогда можно сказать, что величина х описывает смещение колеблющейся точки из положения равновесия. Максимальное смещение от положения равновесия называется амплитудой колебания

Величина

которая стоит под знаком косинуса называется фазой. Фаза определяет смещение от положения равновесия в произвольный момент времени t. Фаза в начальный момент времени t = 0, равная φ0 называется начальной фазой.

 

 

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Через промежуток времени, равный периоду Т, т.е. при увеличении аргумента косинуса  на ω0Т, движение повторяется, и косинус принимает прежнее значение

т.к. период косинуса равен 2π , то, следовательно, ω0Т = 2π

таким образом, ω0 - это число колебаний тела за 2π секунд. ω0 - циклическая или круговая частота.

рисунок гармонического колебания

 А - амплитуда, Т – период, х - смещение, t – время.

Скорость колеблющейся точки найдем, продифференцировав уравне­ние смещения х(t) по времени

т.е. скорость v отличается по фазе от смещения х на π/2.

Ускорение - первая производная от скорости (вторая производная от смещения) по времени

т.е. ускорение а отличается от смещения по фазе на π.


Построим график х(t), у(t) и а(t) в одной смете координат (для простоты примем φ0= 0 и ω0 = 1)

 

Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

 

К списку лекций

Главная