§4 Закон Максвелла про розподіл по швидкостях і енергіям

  Закон розподілу молекул ідеального газу по швидкостях, теоретично отриманий Максвеллом в 1860 г. визначає, яке число dn молекул однорідного  (p = const) одноатомного ідеального газу із загального числа N його молекул в одиниці об'єму має при даній температурі Т  швидкості, які лежать в інтервалі від   v  до v + dv.  

    Для висновку функції розподілу молекул по швидкостях f(v) рівної відношенню числа молекул dn, швидкості яких лежать в інтервалі v¸ v + dv     до загального числа молекул N і величині інтервалу dv

Максвелл використовував дві пропозиції:

а) усі напрямки в просторі рівноправні й тому будь-який напрямок руху частки, тобто будь-який напрямок швидкості однаково ймовірний. Цю властивість іноді називають властивістю ізотропності функції розподілу.

б) рух по трьом взаємно перпендикулярним осям незалежні тобто х-компоненти швидкості  не залежить від того яке значення її компонентів або .  тоді висновок  f (v) робиться спочатку для одного компонента  

, а потім узагальнюється на всі координати швидкості.

     Уважається також, що газ складається з дуже великого числа N тотожних молекул, що перебувають у стані безладного теплового руху при однаковій температурі. Силові поля на газ не діють.

  Функції   f (v) визначає відносне число молекул dn(v)/N       швидкості яких лежать в інтервалі від   v   до  v + dv   (наприклад: газ має N = 106  молекул, при цьому dn = 100 молекул мають швидкості від v   до  v + dv   (наприклад: газ має N = 106  молекул, при цьому dN = 100 молекул мають швидкості від v =100  до  v + dv  =101 м/с (dv = 1 м) тоді

.  

   Використуючи методи теорії ймовірностей, Максвелл знайшов функцію f (v) - закон розподілу молекул ідеального газу по швидкостях:

 f (v) залежить від роду газу ( від маси молекули) і від параметра стану (від температури Т)

  f(v) залежить від відношення кінетичної енергії молекули, що відповідає розглянутої швидкості  до величини kТ, що характеризує середню теплову енергію молекул газу.

 При малих v   і функція f(v) змінюється практично по параболі    . При зростанні v множник

 зменшується швидше, чим росте множник

, т.т. є max  функції  f(v). Швидкість, при якій функція розподілу молекул ідеального газу по швидкостях максимальна, називається найбільш імовірною швидкістю   знайдемо з умови

   

 

,

отже, з ростом температури найбільш імовірна швидкість росте,  але площа S, обмежена кривої функції розподілу залишається незмінної, тому що з умови нормировки (тому що ймовірність достовірної події рівна 1), тому при підвищенні температури крива розподілу  f (v) буде розтягуватися й знижуватися.

У статистичній фізиці середнє значення якої-небудь величини визначається як інтеграл від 0 до нескінченності добутку величини на густину імовірності цієї величини (статистична вага)

<X>=

Тоді середня арифметична швидкість молекул         

        

 і інтегруючи вроздріб одержали

Швидкості, що характеризують стан газу

 

§5 Експериментальна перевірка закону розподілу Максвелла - досвід Штерна

Уздовж осі внутрішнього циліндра з щілиною натягнутий платиновий дріт, покритий шаром срібла, який  нагрівається струмом. При нагріванні срібло випаровується, атоми срібла вилітають через щілину й попадають на внутрішню поверхню другого циліндра. Якщо обоє циліндра нерухливі, то всі атоми незалежно від їхньої швидкості попадають у те саме місце В. При обертанні циліндрів з кутовою швидкістю ω атома срібла потраплять у крапки В', B’’ і так далі.  По величині ω, відстані l і зсуву х = ВВ’ можна обчислити швидкість атомів, що потрапили в крапку В'..

Зображення щілини виходить розмитим. Досліджуючи товщину обложеного шару,  можна оцінити розподіл молекул по швидкостях, яке відповідає максвелловському розподілу.

 

§6 Барометрична формула

Розподіл Больцмана

     Дотепер розглядалася поведінка ідеального газу, не підданого впливу зовнішніх силових полів. З досвіду добре відомо, що при дії зовнішніх сил рівномірне поширення часток у просторі може порушитися. Так під дією сили тяжіння молекули прагнуть опуститися на дно посудини. Інтенсивний тепловий рух перешкоджає осадженню, і молекули поширюються так, що їх концентрація поступово зменшується в міру збільшення висоти.

     Виведемо закон зміни тиску з висотою припускаючи, що поле тяжіння однорідне, температура постійна й маса всіх молекул однакова. Якщо атмосферний тиск на висоті h  рівно p, то на висоті h + dh воно рівно  p + dp   ( при dh > 0,  dp < 0, тому що p зменшується зі збільшенням h).

Різниця тиску на висотах h і  h+dh ми можемо визначити як вагу молекул повітря ув'язненого в об'ємі із площею підстави рівної 1 і висотою  dh.

густина на висоті h, і тому що

, то     = const.

Тоді

    

З рівняння Менделєєва-Клапейрона.

Тоді   

Або 

Зі зміною висоти від h1 до h2 тиск змінюється від p1  до p2

Пропотенцюємо дане вираження  

   (

Барометрична формула, показує, як міняється тиск із висотою

При

Тоді 

 

Т.як

,

а

  

то

n концентрація молекул на висоті h,

n0 концентрація молекул на висоті h =0.

 

Т.як 

 

то

 

потенційна енергія молекул у поле тяжіння

розподіл Больцмана в зовнішньому потенційному полі. З нього випливає, що при T = const  густина газу більше там, де менше потенційна енергія молекул.

 

§7 Спробне визначення постійної Авогадро

     Ж. Перрен (французький вчений) в 1909 р. досліджував поведінку броунівських частинок в емульсії гуммигута (сік дерев) з розмірами

Емульсія містилася у плоску скляну кювету глибиною 0,1 мм і розглядалася за допомогою мікроскопа, який мав глибину поля зору - 1мкм. Переміщаючи мікроскоп у вертикальному напрямку можна було досліджувати розподіл броунівських часток по висоті.

Застосувавши до них розподіл Больцмана можна записати

n=        -де m - маса частки

m - маса витиснутої рідини.

Якщо  n1 і n2 концентрація часток на рівнях  h1 і h2,  а   k = R/NA,  то

Значення добре узгодиться з довідковим значенням, що підтверджує  больцмановський  розподіл часток

 

 

 

 

До списку лекцій

Головна