§4 Закон Максвелла о распределении по скоростям и энергиям

  Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число dN молекул однородного  (p = const) одноатомного идеального газа из общего числа N его молекул в единице объёма имеет при данной температуре Т  скорости, заключенные в интервале от   v  до v + dv.  

    Для вывода функции распределения молекул по скоростям f(v) равной отношению числа молекул dN, скорости которых лежат в интервале v ÷ v + dv     к общему числу молекул N и величине интервала dv

Максвелл использовал два предложения:

а) все направления в пространстве равноправны и поэтому любое направление движения частицы, т.е. любое направление скорости одинаково вероятно. Это свойство иногда называют свойством изотропности функции распределения.

б) движение по трем взаимно перпендикулярным осям независимы т.е. х-компоненты скорости    не зависит от того каково значения ее компонент     или. И тогда вывод  f (v) делается сначала для одной компоненты  , а затем обобщается на все координаты скорости.

      Считается также, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Силовые поля на газ не действуют.

   Функции   f (v) определяет относительное число молекул dN(v)/N       скорости которых лежат в интервале от   v   до  v + dv   (например: газ имеет N = 106  молекул, при этом dN = 100

молекул имеют скорости от v =100  до  v + dv  =101 м/с (dv = 1 м) тогда .  

    Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f (v) - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

 f (v ) зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т)

  f(v) зависит от отношения кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости   к величине kT характеризующей среднюю тепловую энергию молекул газа.

  При малых v   и функция f(v) изменяется практически по параболе  . При возрастании v множитель   уменьшается быстрее, чем растет множитель, т.е. имеется max  функции  f(v). Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью  найдем из условия

   

 

, следовательно, с ростом температуры наиболее вероятная скорость растёт,  но площадь S, ограниченная кривой функции распределения остаётся неизменной, так как из условия нормировки (так как вероятность достоверного события равна 1), поэтому при повышении температуры кривая распределения  f (v) будет растягиваться и понижаться.

В статистической физике среднее значение какой-либо величины определяется как интеграл от 0 до бесконечности произведения величины на плотность вероятности этой величины (статистический вес)

<X>=

Тогда средняя арифметическая скорость молекул         

 и интегрируя по частям получили

Скорости, характеризующие состояние газа

 

§5 Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла - опыт Штерна

Вдоль оси внутреннего цилиндра с целью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая  нагревается током. При нагревании серебро испаряется, атомы серебра вылетают через щель и попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если оба цилиндра неподвижны, то все атомы независимо от их скорости попадают в одно и то же место В. При вращении цилиндров с угловой скоростью ω атома серебра попадут в точки В’, B’’ и так далее.  По величине ω, расстоянию ? и смещению х = ВВ’ можно вычислить скорость атомов, попавших в точку В’.

Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осаждённого слоя,  можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.

 

§6 Барометрическая формула

Распределение Больцмана

     До сих пор рассматривалось поведение идеального газа, не подверженного воздействию внешних силовых полей. Из опыта хорошо известно, что при действии внешних сил равномерное распространение частиц в пространстве может нарушиться. Так под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на дно сосуда. Интенсивное тепловое движение препятствует осаждению, и молекулы распространяются так, что их концентрация постепенно уменьшается по мере увеличения высоты.

     Выведем закон изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h  равно p, то на высоте h + dh оно равно  p + dp   (при dh > 0,  dp < 0, так как p уменьшается с увеличением h).

Разность давления на высотах h и  h+dh мы можем определить как вес молекул воздуха заключённого в объёме с площадью основания равного 1 и высотой  dh.

плотность на высоте h, и так как , то     = const.

Тогда     

Из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Тогда   

Или 

С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от p1  до p2

Пропотенцируем данное выражение   (

Барометрическая формула, показывает, как меняется давление с высотой

При

Тогда

 

Т.к.

,

а

  

то

n концентрация молекул на высоте h,

n0 концентрация молекул на высоте h =0.

 

Т.к 

 

то

 

потенциальная энергия молекул в поле тяготения

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при T = const  плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекул.

 

§7 Опытное определение постоянной Авогадро

     Ж. Перрен (французкий ученый) в 1909 г. исследовал поведение броуновских частиц в эмульсии гуммигута (сок деревьев) с размерами осматривались с помощью микроскопа, который имел глубину поля - 1мкм. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.

Применив к ним распределение Больцмана можно записать

n=        - где  m-масса частицы

m - масса вытесненной жидкости:

Если  n1 и n2 концентрация частиц на уровнях  h1 и h2,  а   k=R/NA,  то

NA=

Значение хорошо согласуется со справочным значением , что подтверждает  больцмановское  распределение частиц

 

 

 

 

К списку лекций

Главная