ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ

Корпускулярно-хвильовий дуалізм властивостей часток речовини.

§1 Хвилі де Бройля

В 1924 р. Луі де Бройль (французький фізик) дійшов висновку, що подвійність світла повинна бути поширена й на частки речовини - електрони. Гіпотеза де Бройля полягала в тому, що електрон, корпускулярні властивості якого (заряд, маса) вивчаються давно, має ще й хвильові властивості, тобто за певних умов поводиться як хвиля.

Кількісні співвідношення, що зв'язують корпускулярні й хвильові властивості часток, такі ж, як для фотонів.

 

Ідея де Бройля полягала в тому, що це співвідношення має універсальний характер, слушний для будь-яких хвильових процесів. Будь-якій частці, що володіє імпульсом р, відповідає хвиля, довжина якої обчислюється по формулі де Бройля.

 - хвиля де Бройля

p =mv-імпульс частки, h - постійна Планка.

Хвилі де Бройля, які іноді називають електронними хвилями, не є електромагнітними.

В 1927 році Дэвиссон і Джермер ( амер. фізик ) підтвердили гіпотезу де Бройля виявивши дифракцію електронів на кристалі нікелю. Дифракційні максимуми відповідали  формулі Вульфа - Брегів 2dsinj = nl, а брегівська довжина хвилі виявилася в точності рівної .

Подальше підтвердження гіпотези де Бройля в досвідах Л.С. Тартаковського й Г. Томсона, що спостерігали дифракційну картину при проходженні пучка швидких електронів (Е» 50 кеВ) через фольгу з різних металів. Потім була виявлена дифракція нейтронів, протонів, атомних пучків і молекулярних пучків. З'явилися нові методи дослідження речовини - нейтронографія й електронографія й виникла електронна оптика.

            Макротіла також повинні мати всі властивості (m = 1кг, отже,  l = 6.62·10-31 м – неможливо визначити сучасними методами - тому макротіла розглядаються тільки як корпускули).

 

§2 Властивості хвиль де Бройля

1. Нехай частка маси m рухається зі швидкістю v. Тоді фазова швидкість хвиль де Бройля

.

Так як c > v, те фазова швидкість хвиль де Бройля більше швидкості світла у вакуумі ( vф може бути більше й може бути менше с, на відміну від групової ).

Групова швидкість

  • 2. отже, групова швидкість хвиль де Бройля дорівнює швидкості руху частки.
Для фотона

тобто групова швидкість рівна швидкості світла.

3. Хвилі де Бройля зазнають дисперсію. Підставивши

 в  одержимо, що vф= f(λ). Через наявність дисперсії хвилі де Бройля не можна представити у вигляді хвильового пакета, тому що він миттєво “ розпливеться “ (зникне) за час 10-26с.

 

§3 Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

 

Мікрочастинки в одних випадках проявляють себе як хвилі, в інших як корпускули. До них не застосовні закони класичної фізики часток і хвиль. У квантовій фізиці доводиться, що до мікрочастинки не можна застосовувати поняття траєкторії, але можна сказати, що частка перебуває в даному об'ємі простору з деякою ймовірністю Р. Зменшуючи об'єм, ми будемо зменшувати ймовірність виявити частку в ньому. Імовірнісний опис траєкторії (або положення) частки приводить до того, що імпульс і, отже, швидкість частки може бути визначена з якоюсь певною точністю.

            Далі, не можна говорити про довжину хвилі в даній точці простору й звідси випливає, що якщо ми точно задаємо координату x, то ми нічого не зможемо сказати про імпульс частки, тому що .

Тільки розглядаючи протяжну ділянку D x ми зможемо визначити імпульс частки. Чим більше D x, тем точніше Dр і навпаки, чим менше D x, тим більше невизначеність у знаходженні Dр.

            Співвідношення невизначеностей Гейзенберга встановлює границю в одночасному визначенні точності канонічно спряжених величин, до яких відносяться координата й імпульс, енергія й час.

            Співвідношення невизначеностей Гейзенберга: добуток невизначеностей значень двох спряжених величин не може бути за порядком величини менше постійної Планка h

( іноді записують      )

Таким чином. для мікрочастинки не існує станів, у яких її координата й імпульс мали б одночасно точні значення. Чим менше невизначеність однієї величини, тим більше невизначеність іншої.

            Співвідношення невизначеностей є квантовим обмеженням застосовності класичної механіки до мікрооб'єктів.

отже, чим більше m, тем менше невизначеності у визначенні координати й швидкості. При m = 10-12 кг, ? = 10-6 і Δx = 1% ? = 10-8 м, Δv = 6,62·10-14 м/с, т.т. не буде проявлятися при усіх швидкостях, з якими пилинки можуть рухатися, т.т. для макротіл їх хвильові властивості не грають ні якої ролі.

            Нехай електрон рухається в атомі водню. Допустимо Δx »10-10 м (порядку розмірів атома, тобто електрон належить даному атому). Тоді

Δv = 7,27·106 м/с. По класичній механіці при русі по радіусу r » 0,5·10-10 м v = 2,3·10-6 м/с. Т.т. невизначеність швидкості на порядок більше величини швидкості, звідси, неможливо застосовувати закони класичної механіки до мікросвіту.

            Зі співвідношення  випливає, що система, що має час життя Dt, не може бути охарактеризована певним значенням енергії. Розкид енергії  зростає зі зменшенням середнього часу життя. Отже, частота випромененого фотона також повинна мати невизначеність Dn = DE/h, тобто спектральні лінії будуть мати деяку ширину n±DE/h,

будуть розмиті. Вимірявши ширину спектральної лінії можна оцінити порядок часу існування атома в збудженому стані.

 

§4 Хвильова функція і її фізичний зміст

            Дифракційна картина, що спостерігається для мікрочастинок, характеризується неоднаковим розподілом потоків мікрочастинок у різних напрямках - є мінімуми й максимуми в інших напрямках. Наявність максимумів у дифракційній картині означає, що в цих напрямках розподіляються хвилі де Бройля з найбільшою інтенсивністю. А інтенсивність буде максимальної, якщо в цьому напрямку поширюється максимальне число часток. Т.т. дифракційна картина для мікрочастинок є проявом статистичної (імовірнісної) закономірності в розподілі часток: де інтенсивність хвилі де Бройля максимальна, там і часток більше.

            Хвилі де Бройля у квантовій механіці розглядаються як хвилі ймовірності, тобто ймовірність виявити частку в різних точках простору міняється за хвильовим законом (тобто ~е-iωt). Але для деяких точок простору така ймовірність буде негативною (тобто частка не попадає в цю область). М. Борн ( німецький фізик ) припустив, що за хвильовим законом міняється не сама ймовірність, а амплітуда ймовірності, яку також називають хвильовою функцією або y-функцією (псі - функцією).

Хвильова функція - функція координат і часу.

            Квадрат модуля псі-функції визначає ймовірність того, що частка буде виявлена в межах об'єму dv - фізичний зміст має не сама псі-функція, а квадрат її модуля.

Ψ* - функція комплексно спряжена з Ψ

 (z = a +ib, z* =a- ib, z*- комплексно спряжені)

Якщо частка перебуває в кінцевому об'ємі V, то можливість виявити її в цьому об'ємі рівна 1 (достовірна подія)

                                   Р = 1 Þ

 У квантовій механіці приймається, що Ψ і АΨ, де А = const, описують той самий стан частки. Отже,

- умова нормування,

інтеграл по ,

означає, що він обчислюється по безмежному об'єму (простору).

( - функція повинна бути

1) кінцевою (тому що Р не може бути більше1),

2) однозначною (не можна виявити частку при незмінних умовах з імовірністю допустимо 0,01 і 0,9, тому що ймовірність повинна бути однозначною).

  • безперервною (випливає з безперервності простору. Завжди є ймовірність виявити частку в різних точках простору, але для різних точок вона буде різна),
Хвильова функція задовольняє принципу суперпозиції: якщо система може перебувати в різних станах, описуваних хвильовими функціями y1,y2...yn, то вона може перебуває в стані y, описуваному лінійної комбінацій цих функцій:

                            

Сn (n=1,2...) - будь-які числа.

За допомогою хвильової функції обчислюються середні значення будь-якої фізичної величини частки

              

 

§5 Рівняння Шредингера

 

Рівняння Шредингера, як і інші основні рівняння фізики (рівняння Ньютона, Максвелла), не виводиться, а постулюються. Його слід розглядати як вихідне основне припущення, справедливість якого доводиться тим, що всі наслідки, що випливають із нього, точно узгодяться з експериментальними даними.

                                                                               (1)

- часове рівняння Шредингера.

 - набла - оператор Лапласа

 - потенційна функція частки в силовому полі,

Ψ(y,z,t) -шукана функція

Якщо силове поле, у якому рухається частка, стаціонарно ( тобто не змінюється із часом), то функція U не залежить від часу й має сенс потенційної енергії. У цьому випадку розв'язок рівняння Шредингера (тобто Ψ - функція) може бути презентовано у вигляді добутку двох співмножників - один залежить тільки від координат, інший - тільки від часу:

                                 (2)

Е - повна енергія частки, постійна у випадку стаціонарного поля.

Підставивши (2) (1):

                                        (3)

 

-рівняння Шредингера для стаціонарних станів.

Є нескінченно багато розв'язків. За допомогою накладення граничних умов відбирають розв'язку, що мають фізичний зміст.

            Граничні умови:

 хвильові функції повинні бути регулярними, тобто

1) кінцевими;

2) однозначними;

3) безперервними.

            Розв'язки, що задовольняють рівнянню Шредингера, називаються власними функціями, а відповідні їм значення енергії - власними значеннями енергії. Сукупність власних значень називається спектром величини. Якщо Еn приймає дискретні значення, то спектр - дискретний, якщо безперервні - суцільний або безперервний.

                                  

§6 Рух вільної частки

 

Частка називається вільною, якщо на неї не діють силові поля, тобто U = 0.

            Рівняння Шредингера для стаціонарних станів у цьому випадку:

                                                          

Його розв'язок: Ψ(x)=Ае ikx , де А = const, k = const

І власні значення енергії:

             

Так як k може примати будь-які значення, то, отже,  і Е приймає будь-які значення, тобто енергетичний спектр буде суцільним.

Часова хвильова функція

                        (- рівняння хвилі)

т.т. представляє плоску монохромну хвилю де Бройля.

 

§7 Частка в “потенційній ямі” прямокутної форми.

                                               Квантування енергії.

Знайдемо власні значення енергії й відповідні їм власні функції для частки, що перебуває в нескінченно глибокій одномірній потенційній ямі. Припустимо що, частка може рухатися тільки уздовж осі x. Нехай рух обмежений непроникними для частки стінками x = 0, і x = l. Потенційна енергія U має вигляд:

 

 

Рівняння Шредингера для стаціонарних станів для одномірного завдання

                                              

 

За межі потенційної ями частка потрапити не зможе, тому ймовірність виявлення частки поза ямою рівна 0.Отже, і Ψ за межами ями рівна 0. З умов безперервності випливає, що Ψ = 0 і на границях ями тобто

Ψ(0) = Ψ(?) = 0

У межах ями (0 < x < l)   U = 0 і рівняння Шредингера.

увівши  одержимо 

Загальний розв'язок  

;

із граничних умов випливає

y(0) = 0,

У такий спосіб

В = 0

Отже,

Із граничної умови

Випливає

         Þ

Тоді            

Енергія Еn частки в "потенційній ямі" з нескінченно високими стінками приймає лише певні дискретні значення, тобто квантується. Квантовані значення енергії Еn називаються рівнями енергії, а число n, що визначає енергетичні рівні частки, називається головним квантовим числом. Т.т. частки в "потенційній ямі" можуть перебувати тільки на певному енергетичному рівні Еn (або перебувають у квантовому стані n)

Власні функції:

А знайдемо із зусилля нормування


 

 

 -щільність імовірності. З рис. видне, що щільність імовірності міняється залежно від n: при n = 1 частка, швидше за все, буде посередині ями, але не на краях, при  n = 2 - буде або в лівій або в правій половині, але не посередині ями й не на краях, і т.д. Т.т не можна говорити про траєкторію руху частки.

            Енергетичний інтервал між сусідніми рівнями енергії:

              

При n = 1 має найменшу енергію відмінну від нуля

                                              

Наявність мінімуму енергії випливає зі співвідношення невизначеностей, тому що ,

 

Зі збільшенням n відстань між рівнями зменшується й при n Еnпрактично безперервні, тобто  дискретність згладжується, тобто виконується принцип відповідності Бору: при більших значеннях квантових чисел закони квантової механіки переходять у закони  класичної фізики.

            Загальне трактування принципу відповідності: усяка нова, більш загальна теорія є розвитком класичної, не відкидає її повністю, а містить у собі класичну, указуючи границі її застосовності.

 

            §8 Тунельний ефект.

Проходження частки через потенційний бар'єр

 

Для класичної частки : при Е > U вона пройде над бар'єром, при Е < U - відіб'ється від нього; для квантової : при Е > U є ймовірність того, що частка відіб'ється, при Е < U є ймовірність того, що пройде крізь бар'єр..

Потенційна енергія:  

Рівняння Шредингера: для області 1 і 3

:

для області 2:           

Розв'язок цих диф. рівнянь:

Для 1;

Для 2;  

Для 3:

 

отраженная волна

 

падающая волна

 Часова хвильова функція для області 1:

 


Так як в області 3 можливий розподіл тільки проходячої хвилі, то, Þ, В3=0.

В області 2 розв'язок залежить від співвідношень Е> U або Е< U. Фізичний інтерес представляє випадок Е< U.

       q = ib, где

Тоді розв'язки рівняння Шредингера запишуться у вигляді::

Для 1;

Для 2;  

Для 3:

Якісний вид функцій показаний на рис. 2. З рис. 2 видно, що функція не дорівнює нулю усередині бар'єра, а в 3 має вигляд хвилі де Бройля, якщо бар'єр не дуже широкий.

            Явище “проникнення” частки крізь потенційний бар'єр, називається тунельним ефектом. Тунельний ефект є специфічним квантовим ефектом. Проходження частки можна пояснити використовуючи співвідношення невизначеностей: невизначеність імпульсу Dр на відрізку Dx =l становит . Пов'язана із цим розкидом у значеннях імпульсу кінетична енергія  

може виявитися достатньої для того, щоб повна енергія частки виявилася більше потенційної енергії бар'єра.

 

§9  Лінійний гармонійний осцилятор

Лінійний гармонійний осциллтор - система, що робить одномірний коливальний рух під дією квазиупругой сили - є моделлю для вивчення коливального руху.

У класичній фізиці - це пружинний, фізичний і математичний маятники. У квантовій фізиці - квантовий осцилятор.

Записавши потенційну енергію у вигляді

Рівняння Шредингера запишеться у вигляді:

 

 

Тоді власні значення енергії:

т.т. енергія квантового осцилятора приймає дискретні значення, тобто квантується. Мінімальне значення  - енергія нульових коливань - є наслідком стану невизначеності так само, як і у випадку частки в “потенційній ямі”.

Наявність нульових коливань означає, що частки не можуть упасти на дно ями, тому що в цьому випадку був би точно визначений її імпульс p = 0, Dp = 0, Þ, Dx = - не відповідає співвідношенню невизначеностей. Наявність

енергії нульових коливань суперечить класичнимуявленням, по яких Emin = 0. - рівні енергії енергії розташовані на рівних відстанях друг від друга. Із квантового розгляду випливає, що частку можна виявити поза областю . По класичному розгляду тільки в межах –x x x (Рис.2).

.

До списку лекцій

Головна