§7 Работа силы электростатического поля при перемещении заряда.

Потенциальный характер сил поля.

Циркуляция вектора напряженности

 

Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое зарядом q. Пусть в нем перемещается пробный заряд q0. В любой точке поля на заряд q0 действует сила


де  - модуль силы,  - орт радиус-вектора , определяющего положение заряда q0 относительно заряда q. Так как сила меняется от точки к точке, то работу силы электростатического поля запишем как работу переменной силы:

                                                

 

 

 

Ввиду того, что рассматривали перемещение заряда из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории, можно сделать вывод, что работа по перемещению точечного заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь начальным и конечным положением заряда. Это свидетельствует о том, что электростатическое поле является потенциальным, а сила Кулона – консервативной силой. Работа по перемещению заряда в таком поле по замкнутому пути всегда рвана нулю.

         

 - проекция  на направление контура ℓ.

Учтем, что работа по замкнутому пути равно нулю

 - ЦИРКУЛЯЦИЯ вектора напряженности.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля, взятая по произвольному замкнутому контуру всегда равна нулю.

 

§8 Потенциал.

Связь между напряженностью и потенциалом.

Градиент потенциала.

Эквипотенциальные поверхности

 

Поскольку электростатическое поле является потенциальным  работа по перемещению заряда в таком поле может быть представлена, как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути. (Работа равна уменьшению потенциальной энергии, или изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус.)

 

Постоянную определяют из условия, что при удалении заряда q0 на бесконечность его потенциальная энергия должна быть равна нулю.

.

Различные пробные заряды q0i , помещенные в данную точку поля будут обладать в этой точке различными потенциальными энергиями:

   …

Отношение Wпот i  к величине пробного заряда q0i, помещенного в данную точку поля является величиной постоянной для данной точки поля для всех пробных зарядов. Это отношение называется ПОТЕНЦИАЛОМ.

ПОТЕНЦИАЛ – энергетическая характеристика электрического поля. ПОТЕНЦИАЛ численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Работу по перемещению заряда можно представить в виде

.

Потенциал измеряется в Вольтах


ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ называются поверхности равного потенциала (φ = const). Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Связь между напряженностью  и потенциалом φ можно найти, исходя из того, что работу по перемещению заряда q  на элементарном отрезке  d? можно представить как

                                       

С другой стороны                         

 - градиент потенциала.

Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус.


Градиент потенциала показывает, как меняется потенциал на единицу длины. Градиент перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q1, q2, … qN. Расстояния от зарядов до данной точки поля равны  r1, r2, … rN. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q0, будет равна алгебраической сумме работ сил, каждого заряда в отдельности.

гле

            

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, определяется как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых в этой же точке каждым зарядом в отдельности.

 

 

 

§9 Вычисление разности потенциалов плоскости, двух плоскостей, сферы, шара, цилиндра

 

Используя связь между φ и  определим разность потенциалов между двумя произвольными точками

      


σ

 Разность потенциалов поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ.

2.  Разность потенциалов поля  двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.

 

Если х1 = 0; х2 = d , то  или

 

 

3.  Разность потенциалов поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R.


Если r1 = r, r2 ¥, то потенциал вне сферы

Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

 

4. Разность потенциалов поля объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q.


Вне шара  r1, r2 > R,

Внутри шара

 

 

5. Разность потенциалов поля равномерно заряженного цилиндра (или бесконечно длинной нити).

 

r > R:

 

 

 

К списку лекций

Главная