§5 Потік вектора напруженості

 

Визначимо потік вектора  через довільну поверхню dS,   -нормаль до поверхні, α - кут поміж нормаллю й силовою лінією вектора. Можна ввести   вектор площі . ПОТОКОМ ВЕКТОРА  називається скалярна величина ФЕ рівна скалярному добутку вектора напруженості  на вектор площі

 

Для однорідного поля

 

Для неоднорідного поля

де - проекція на ,  -проекція  на .

У випадку криволінійної поверхні S її потрібно розбити на елементарні поверхні ds, розрахувати потік  через елементарну поверхню, а загальний потік буде дорівнювати сумі або в межі інтегралу від елементарних потоків

де  - інтеграл по замкненій поверхні S (наприклад, по сфері, циліндрі, кубі і т.д.)

Потік вектора  є алгебраїчною величиною: залежить не тільки від конфігурації поля, але й від вибору напрямку . Для замкнених поверхонь за позитивний напрямок нормалі приймається зовнішня нормаль, тобто нормаль, спрямована назовні області, охоплюваною поверхнею.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Для однорідного поля потік через замкнену поверхню рівний нуля. У випадку неоднорідного поля

 

.

 

§6 Теорема Гауса і її застосування до розрахунків напруженості електростатичного поля

 

I. Розглянемо електростатичне поле, що створюється  одиничним позитивним зарядом. Розмістимо його у сферу радіуса R. Визначимо потік напруженості  ччерез сферичну поверхню радіуса R.

Розіб’ємо поверхню S сфери на елементарні площадки ds. Нормаль до площадки ds спрямована по лінії радіуса сфери й збігається з напрямком вектора :  парал ельна  тому

                 

Тоді потік вектора  через поверхню S буде дорівнювати сумі потоків через елементарні площадки ds і спрямовуючи ds до 0 можна записати, що

Враховуючи, що напруженість поля точкового заряду рівна

одержимо        

Цей результат можна узагальнити на випадок будь-якої поверхні.

Враховуючи принцип суперпозиції можна отриманий результат застосувати до будь-якої кількості зарядів, що перебувають усередині поверхні.

ТЕОРЕМА ГАУСА:

Потік вектора напруженості через довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, оточених усередині цієї поверхні, діленої на ε00 - електрична постійна)

 

II. Применение теоремы Гаусса.

  1. Застосування теореми Гауса.

    Напруженість поля, створювана нескінченно протяжної однорідно зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ.
    ПОВЕРХНЕВА ГУСТИНА ЗАРЯДУ показує, який заряд припадає на одиницю площі

Лінії напруженості  перпендикулярні розглянутої поверхні й спрямовані від неї в обидва боки. Побудуємо циліндр із основою S, твірна якого паралельна лініям напруженості .

 

 


Тому що твірна  циліндра паралельна , то потік через основу S рівний

Потік через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, тому що  перпендикулярна S cosα= cos90° = 0, отже,

2. Напруженість поля, створювана двома паралельними нескінченно протяжними пластинами з поверхневою густиною зарядів +σ і -σ. Знайдемо поле Е, використовуючи принцип суперпозиції  полів. В області між площинами


Ліворуч і праворуч від площин поля віднімаються, тому що лінії напруженості спрямовані назустріч одна одній  .

 

3. Напруженість поля, створювана нескінченно протяжною  ниткою з лінійною густиною заряду а τ.

Лінійна густина заряду       показує,         який заряд припадає на одиницю довжина провідника.

 

Потрібно визначити напруженість поля на деякій відстані r від нитки. Для цього побудуємо циліндр радіуса r і висотою h, по осі якого проходить нитка.


Потік через основи розглянутого циліндра дорівнює нулю, тому що  перпендикулярна вектору , отже, потік буде визначатися тільки потоком через бічну поверхню циліндра





4. 4. Напруженість поля, створюваного сферичною поверхнею з поверхневою густиною заряду σ.

На сфері радіуса R розподілений заряд q. Поверхнева густина заряду

 

Лінії напруженості спрямовані радіально, відходячи від поверхні сфера під прямим кутом. Оточуємо дану сферу сферою радіуса r і визначаємо потік напруженості  через сферичну поверхню радіуса r.

 

 

 

 

 

 

 

При r > R увесь заряд q попадає усередину сфери r. Тоді по теоремі Гауса

 

, т.к. Еn = E.

                               

При r < R усередині поверхні радіуса r зарядів немає й тому Е=0. На цьому засноване екранування - захист від зовнішніх електричних полів.

 

5. Напруженість поля об'ємно зарядженої кулі з об'ємною густиною заряду ρ.

Об'ємна густина заряду показує, який заряд припадає на одиниці об'єму

а) При r > R по пункту 4 знаходимо

                      

б) При r < R

 

 

До списку лекцій

Головна