§6 Теорема Гаусса и ее применение к расчету напряженности электростатического поля
I. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое единичным положительным зарядом. Заключим его в сферу радиуса R. Определим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса R.
Разобъем поверхность S сферы на элементарные площадки dS. Нормаль к площадке dS направлена по линии радиуса сфера и совпадает с направлением вектора : параллельна поэтому
Тогда поток вектора через поверхность S будет равен сумме потоков через элементарные площадки dS и устремляя dS к 0 можно записать, что
Учитывая, что напряженность поля точечного заряда равна
получим
Этот результат можно обобщить на случай любой поверхности.
Учитывая принцип суперпозиции можно полученный результат применить к любому количеству зарядов, находящихся внутри поверхности.
ТЕОРЕМА ГАУССА:
Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0 (ε0 - электрическая постоянная)
II. Применение теоремы Гаусса.
Пинии напряженности перпендикулярны рассматриваемой поверхности и направлены от нее в обе стороны. Построим цилиндр с основанием S, образующая которого параллельна линиям напряженности .
Так как образующая цилиндра параллельна , то поток через основание S равен
Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна S cosα= cos90° = 0, следовательно,
2. Напряженность поля, создаваемая двумя параллельными бесконечно протяженными пластинами с поверхностной плотностью зарядов +σ и -σ. Найден поле Е, используя принцип
суперпозиции полей. В области между плоскостями
Слева и справа от плоскостей поля вычитаются, т.к. линии напряженности направлены навстречу друг другу .
3. Напряженность ноля, создаваемая бесконечно протяжённой нитью с линейной плотностью заряда τ.
Линейная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу длина проводника.
Требуется определить напряженность ноля на некотором расстоянии r от нити. Для этого построим цилиндр радиуса r и высотой h, по оси которого проходит нить.
Поток через основания рассматриваемого цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна вектору , следовательно, поток будет определяться только потоком через боковую поверхность цилиндра
4. Напряженность поля, создаваемого сферической поверхностью с поверхностной плотностью заряда σ.
На сфере радиуса R распределен заряд q. Поверхностная плотность заряда
Линии напряженности направлены радиально, отходя от поверхности сфера под прямым углом. Окружаем данную сферу сферой радиуса r и определяем поток напряженности через cферическую поверхность радиуса r.
При r > R весь заряд q попадает внутрь сфера r. Тогда по теореме Гаусса
, т.к. Еn = E.
При r < R внутри поверхности радиуса r зарядов нет и поэтому Е=0. На этом основано экранирование - защита от внешних электрических полей.
5. Напряженность поля объемно заряженного шара с объемной плотностью заряда ρ.
Объемная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу объема
а) При r > R по пункту 4 находим
б) При r < R